Florencia, 20 de junio de 2024 – ¿Tu hobby? Matemáticas. Si para muchos graduados en ciencias la segunda prueba es la pesadilla de las pesadillas, para él realmente no lo es. Alberto Cancio Pastor, de 19 años, se graduó en el instituto científico Castelnuovo de Florencia y también es miembro del equipo de matemáticas del instituto que, según explica, está formado por nueve estudiantes en total, entre ellos el capitán-entrenador Pietro Zoppetti, que También compite en el examen final, además del profesor coordinador, el profesor Francesco Parigi. El equipo reúne a niños de diferentes clases que comparten una gran pasión por las matemáticas, que ven como un “juego divertido”. Desde hace algunos años, Castelnuovo se destaca en los distintos concursos matemáticos, principalmente en Olimpiada de Matemáticas. Cada año el equipo mejora su desempeño. “Este año batimos nuestro propio récord y terminamos en el puesto decimoquinto. Fue nuestro mejor resultado”, dice Alberto con orgullo.
Las Olimpíadas de Matemáticas están organizadas por la Unión Matemática Italiana y en ellas participan estudiantes de secundaria en competiciones individuales y por equipos. “Las competiciones individuales se dividen en tres fases: una primera competición interna en el instituto, luego las competiciones distritales en Florencia y la final en Cesenatico. Como equipo, abordamos de 20 a 24 problemas. Es un trabajo en equipo realmente emocionante”. Al igual que un equipo deportivo, el equipo de matemáticas entrena todas las semanas, en la escuela, por la tarde. “Lo hacemos para divertirnos – comenta el joven -. Entendemos que algunos puedan quedar un poco perplejos. Si supiera cuántas personas me dicen que nunca han entendido nada de matemáticas… Yo siempre respondo que la materia se basa en saber razonar. Por eso nos gusta resolver problemas”.
Alberto describe el ambiente durante las competiciones y los entrenamientos semanales: “Entrenamos en la escuela una vez a la semana. Lo hacemos por diversión, no debería convertirse en una carga. Siempre me ha gustado resolver problemas”.
Además de las matemáticas, Alberto también siente pasión por el dibujo, pero está claro que el primero ocupa un lugar especial en su corazón. “Mi pasión por esta materia explotó en tercer año de secundaria, gracias al profesor Parigi, quien me mostró su lado más lúdico y experimental”. El equipo está diseñado para resolver problemas numéricos, de geometría, combinatorios, de teoría de números, pero también de lógica y álgebra. “Mis compañeros están muy orgullosos de mí, porque llevo la bandera del colegio en alto”, sonríe Alberto, quien luego nos ayuda a entender un poco sobre el examen de matemáticas de secundaria.
“Como también coinciden mis compañeros, el partido de esta mañana ha sido uno prueba bastante factible, que consta de dos problemas y ocho preguntas. Pero fue suficiente para resolver un problema y cuatro preguntas”, premisa. Y luego la explicación: el primer problema “se refería al análisis de una función, mientras que el segundo se basaba en las propiedades de las raíces cuadradas”. Y nuevamente: “El primero pidió una demostración sobre un triángulo rectángulo para demostrar que era isósceles. El segundo fue un cálculo de probabilidad justo. El tercero trataba sobre geometría analítica en el espacio y el cuarto era una ecuación mixta que requería demostrar la existencia de una solución única. El quinto fue la búsqueda de un polinomio. El sexto partía de una integral mixta, el séptimo pedía encontrar la elipse que describe la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol y finalmente el octavo pedía una demostración de carácter geométrico”.
De cara al futuro, Alberto ya sabe qué camino quiere seguir: “¿Después? Me gustaría estudiar matemáticas y ser profesora. Mi pasión por esta disciplina es grande y no puedo esperar para transmitirla”.
Aquí están soluciones que amablemente nos proporcionó el equipo de matemáticas del liceo Castelnuovo, que se distinguió varias veces en las Olimpiadas de Matemáticas:
1]
altura isósceles = 1/2 hipotenusa
=>) BH=sin(45)•AB=√2/2•AB
AC=AB•√2 (diagonal cuadrada) => BH/AC=½
MB=AM=CM. Entonces MB=BH=> MH=√(MB²-BH²)=0 => H=M. Entonces AHB=CHB => AB=AC
2]
a. f(p)=(5 2)•p²•(1-p)³ con (5 2) coef. binomio; el dominio es [0,1]
b. Calcular la derivada; como la función es polinómica, es continua, al igual que sus derivadas posteriores. Entonces el máximo debe tener una derivada igual a 0. Derivando, encuentro que p=0 u op=2/5. Tenemos que f(0)=f(1)=0, f(2/5)>0. Según el teorema de Lagrange, existe x1 en (0, 2/5) tal que f'(x1)=f(2/5)-f(0)>0. De manera similar, existe x2 en (2/5, 1) tal que f'(x2)=f(1)-f(2/5)
3]
a. El vector normal al plano es (3, -2, 0).
Entonces, considero r dada por:
x=4+3k
y=2-2k
z=1
Encuentro la intersección entre r y π, que es precisamente H:
3(4+3k)-2(2-2k)+5=0 => 13+13k=0 => k=-1 => H=(1,4,1)
b. Encuentro la línea s en forma explícita: s=(0,1,2)+k(1,1,0)
x=k
y=k+1
z=2
3k-2(k+1)+5=0
k=-3 =>P=(-3,-2,2)
4]
x³+x está aumentando, es -2 en -1 y 2 en 1, por lo tanto, fuera del rango [-1,1] no hay ceros (ya que cosx está limitado entre -1 y 1). Además, en este intervalo, cosx es positivo, por lo que f(x)=x³+x-cosx es negativo en [1, 0]. Ahora, f(0)=-1, f(1)=2-cos1>0. f(x) es continua y estrictamente creciente en [0,1] (dado que la suma de x³+x y -cosx, ambos estrictamente crecientes), por lo tanto existe un (teorema cero) y solo un cero (estrictamente creciente) en [0,1]. Por lo tanto, hay un y sólo un cero en R.
5]
p(x)=a+bx+cx²+dx³+ex⁴
La función pasa por (0,0), por lo tanto a=0; además, la derivada en ese punto es cero, por lo tanto también b=0. Por tanto, el polinomio se puede escribir como p(x)=cx²+dx³+ex⁴.
En este punto, representamos las condiciones restantes con ecuaciones:
• pasa por (1;0): c+d+e=0
• pasa por (2;-2): 4c+8d+16e=-2
• la derivada es cero en (2;-2): 4c+12d+32e=0
Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos fácilmente que p(x)=(5/2)x²-(7/2)x³+x⁴
6]
Sustituyendo y=1/t, obtenemos F(x)= integral de -cos(y) de 1/a a 1/x. Entonces, F(x)=-sin(1/x)+sin(1/a). Si F(2/π)=-½, sin(1/a)=½ => a=1/(⅙π+2kπ) va=1/(5π/6+2kπ). Sabemos que un
7]La solución de la foto es breve y concisa, además el dibujo es imprescindible, así que consúltalo.
8]
El radio del círculo circunscrito por un hexágono regular es igual a su lado. Al conectar cada vértice con el centro del círculo, obtenemos 6 triángulos equiláteros congruentes. Por tanto, la apotema es igual a r•√3/2, resultado que es compatible con las medidas dadas. El tamaño del ángulo interno del hexágono regular es 120°, que es ⅓ de 360°, por lo que el plano es teselable. Para polígonos regulares con más de seis lados, el ángulo interno está estrictamente entre 120° y 180°, por lo que el plano no es teselable. Probando para polígonos de menos de seis lados, observamos que los únicos que teselan el plano son: triángulo, cuadrado y hexágono.
Soluciones extendidas de 6 y 8 en la foto, solución de 7 en la foto.
